Manipuler et modéliser des ondes

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Disciplines : Physique

Niveau : L2

Mots clés : Modélisation d’un phénomène de propagation. Construction de l’équation de propagation.

Contact : innovations[at]villebon-charpak.fr, jean-marie.nicolas[at]telecom-paristech.fr

Enseignant référent : Jean-Marie NICOLAS

Résumé : S’approprier la notion d’onde comme un phénomène unique faisant intervenir temps et espace, mettant en œuvre deux observables vérifiant un système d’équation aux dérivées partielles, et modélisable sous la forme de la célèbre « équation de propagation » et se déduisant d’un système de deux équations aux dérivées partielles.

A quel besoin ce format répond-il ?

Comprendre comment une relation mettant en œuvre temps et espace se matérialise par un phénomène ondulatoire.

Comprendre comment à partir de deux équations aux dérivées partielles du premier ordre on obtient une équation de propagation.

L’enseignement en deux mots

L’objectif est d’introduire la notion de propagation selon deux points de vue :

  • Celui de trois observateurs : le premier se croit immobile et « voit » le déroulement temporel de son état propre (Mr Euler). Le second « voit » la situation dans sa globalité spatiale, mais en un instant donné (Mr Lagrange). On rajoute un troisième observateur (que l’on appelle « le surfeur ») qui se déplace à une vitesse spéciale (la célérité de l’onde) : le surfeur n’observe aucun changement temporel de son état (il demeure par exemple sur le sommet de la vague).
  • Celui du physicien théoricien qui, en étudiant ce que « voient » Mr Euler et Mr Lagrange, va définir deux observables et va trouver deux relations différentielles du premier degré. Il en déduit une célèbre équation du second degré : l’équation de propagation.

La finalité est de démystifier l’équation de propagation et d’introduire la célérité de l’onde, soit comme couplage entre les dérives secondes de l’équation de propagation, soit comme la vitesse spéciale du troisième observateur.

L’approche se fait sur le ressort : il est ensuite possible de retrouver cette approche en acoustique et dans les lignes électriques (l’équation des télégraphistes) : lorsque l’étudiant abordera les équations de Maxwell, il est possible d’espérer qu’il ne sera plus du tout décontenancé par deux équations aux dérivées partielles et qu’il en devinera le mécanisme permettant d’arriver à l’équation de propagation.

Au passage, la découverte dans ce cadre des équations aux dérivées partielles permet d’éluder ultérieurement cette difficulté (pour la physique) et peut se voir comme une étape initiatique avant tout  approfondissement mathématique ultérieur.

Ola par les étudiants

Que fait-on concrètement ?

Pour comprendre ce qu’est en pratique un phénomène de propagation, on utilise trois exemples concrets facilement utilisables dans une pédagogie de groupe (<35) :

  • L’étude concrète de la ola : les jeunes (une partie de la classe) se placent côte à côte et lèvent et rabaissent les bras quand leur voisin de droite lève les bras. Selon que les jeunes réagissent rapidement ou lentement au changement d’état de leur voisin, la ola se propagera plus ou moins vite. Les jeunes observateurs verront donc un phénomène de propagation : l’état d’un jeune dépendant du temps et de l’espace.
  • Le ressort pédagogique Jeulin : comme pour la ola, on peut déclencher facilement un soliton. Vu la longueur et la raideur du ressort, et en faisant des expérimentations dans un couloir (le ressort peut s’allonger de presque 10 mètres) on peut observer que la vitesse du soliton est alors proportionnelle à l’élongation du ressort. En se plaçant en un point du ressort (Mr Euler), on pourra constater que la spire, initialement immobile, bouge et finit par revenir à l’état immobile initial : une onde ne déplace pas de matière sauf très localement. Cette dernière observation peut aussi d’analyser avec une caméra rapide.
  • Pour introduire l’acoustique, faire une expérience de psychoacoustique avec un baffle de très grand diamètre (et donc capable de passer de très basses fréquences). En utilisant le logiciel bien connu audacity, on génère un son sifflet entre 0.5 Hz et 30 Hz : au début, (fréquence de l’ordre du Hz), on « voit » le déplacement de la membrane. Au fur et à mesure que la fréquence augmente, on ne voit plus le mouvement, mais à partir d’une fréquence seuil, on entend un son : on peut donc affirmer qu’il y a déplacement des molécules d’air pour assurer l’existence du phénomène de propagation (la notion de pression acoustique semble plus intuitive pour les étudiants).

Pour introduire les équations aux dérivées partielles à des étudiants parfois encore bien novices en dérivation et différentiation, le support conceptuel est celui d’un touriste se déplaçant dans les rues de New-York : il ne peut qu’aller dans le sens des avenues ou des rues. S’il analyse son déplacement, il ne peut calculer sa vitesse que selon la direction des avenues ou celle des rues. Il n’y a (presque) rien à reprocher au modèle si ce n’est que le touriste ne traverse jamais un bloc en diagonale. Utiliser une dérivée partielle permet des modèles simples : la généralisation à tout l’espace requiert une analyse mathématique approfondie qui sort du cadre de ce module d’initiation.

Évaluation des apprentissages

Le point essentiel est le mécanisme opératoire sur un jeu de deux équations aux dérivées partielles. Le contrôle final vérifie l’autonomie de l’étudiant sur ce point : il suffit en général de modifier la notation des variables pour vérifier si le mécanisme est correctement acquis.

De petits calculs (type calcul de longueur d’onde, célérité,..) permettent de vérifier l’ancrage des acquis (anciens dans ce domaine puisqu’ils ont été introduit au lycée) dans le domaine de la propagation des ondes.

Points forts

L’idée d’introduire un enseignement spécifique à la notion de propagation devrait faciliter l’étude des équations de Maxwell.

Le rôle des trois observateurs est aussi intéressant à analyser car il permet de concrétiser :

  • La construction de deux relations différentielles différentes car les deux premiers observateurs analysent différemment la situation mais, au final, obtiennent les mêmes objets mathématiques pour décrire ce qu’ils observent en utilisant dans une même relation les deux variables espace et temps.
  • La notion de célérité des ondes puisque l’observateur « surfeur » concrétise la dimension temps/espace du phénomène.

Limites

Modéliser des phénomènes temps/espace est en pratique très difficile si l’on prend en compte tous les aspects. Aussi, des simplifications extrêmes et très discutables sont prises pour avoir un modèle facile à utiliser dans ce concept d’initiation à la propagation. Par exemple le modèle de ressort est simplifié pour ne pas tomber dans le modèle des phonons.

Il est d’ailleurs difficile de poser correctement les justifications de ces simplifications : l’exemple type est la distinction entre dérivée eulérienne et dérivée lagrangienne, inabordable dans ce cadre. Toute la subtilité est d’introduire des concepts  très grossièrement simplifiés (et frisant l’inexactitude) pour dégager le cadre conceptuel exact des équations menant au formalisme de l’équation de propagation.

Recommandations, spécificités, transférabilité

Beaucoup de choses reposent curieusement sur une certaine inhomogénéïté dans la promotion des étudiants : certains sont plus familiers que d’autre à la modélisation physique, ce même pour la modélisation mathématique. Ce sont les échanges entre étudiants qui permettent une forme de compréhension collective des phénomènes de propagation.

Il faut bien évidemment insister sur la modélisation grossière utilisé dans cette approche : le but recherché est d’exhiber (à tout prix) un système de deux équations aux dérivées partielles qui se résolvent aisément par un jeu d’écriture moyennant une nouvelle étape de dérivation (à connaître avant d’aborder Maxwell).

Enfin, puisque l’on parle de propagation éventuellement acoustique pour laquelle il y a déplacement de matière, donc vitesse acoustique, il faut, dans la mesure du possible, attribuer l’appellation « célérité » à la vitesse de propagation des ondes (on évite ainsi le mot vitesse).

Références

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